중학생 도형 문제 완전정복! 반원 넓이로 선분 길이 구하는 꿀팁 총정리

 

 

안녕하세요! 오늘은 많은 분들이 어려워하는 도형 문제, 특히 중학생들이 자주 접하는 반원 넓이를 활용한 선분 길이 구하는 방법을 쉽고 친근하게 알려드릴게요. 복잡해 보이는 문제도 차근차근 풀어나가면 결코 어렵지 않답니다. 이번 포스팅을 통해 도형 문제에 대한 두려움을 날려버리고 자신감을 얻어가시길 바랍니다!

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• 문제 이해하기
• 필요한 공식 정리하기
• 각 반원의 반지름을 변수로 두기
• 면적 식 세우기
• 식 정리하고 해 구하기
• 최종 정답 정리
• 마무리 꿀팁

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1. 문제 이해하기

자, 먼저 어떤 문제인지 정확히 파악하는 것이 중요해요. 주어진 정보를 하나씩 정리해 볼까요?

 

- 전체 선분 AB의 길이는 20cm예요.
- 이 도형은 반원 3개로 이루어져 있어요.
- 가장 큰 반원은 지름이 20cm이고요.
- 중간 반원은 지름이 AC, 작은 반원은 지름이 BC예요.
- 파란 부분의 넓이는 큰 반원의 넓이에서 중간 반원과 작은 반원의 넓이를 뺀 값인데, 이 넓이가 21π cm²라고 합니다.

 

 

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2. 필요한 공식 정리하기

도형 문제를 풀 때는 필요한 공식을 정확히 알고 있어야겠죠? 이 문제에서는 **반원의 넓이 공식**이 가장 중요해요.

 

반원의 넓이 공식은 다음과 같아요: $π × (반지름)^2 ÷ 2$

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3. 각 반원의 반지름을 변수로 두기

복잡한 식을 간단하게 표현하기 위해 변수를 사용할 거예요. 미지수를 활용하면 훨씬 쉽게 풀 수 있답니다!

 

- AC의 길이를 $x$로 두고요.
- BC의 길이를 $y$로 둘게요.
- 전체 AB의 길이는 20cm이므로, $x + y = 20$이라는 관계식이 성립해요.

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4. 면적 식 세우기

이제 각 반원의 넓이를 구하고, 파란 부분의 넓이가 21π cm²라는 정보를 이용해서 식을 세워볼까요?

 

- **큰 반원의 반지름**은 지름이 20cm이니까 10cm예요.
넓이는 $π × 10^2 ÷ 2 = 50π$ 입니다.

 

- **중간 반원**은 $x$가 지름이니까 반지름은 $x/2$예요.
넓이는 $π × (x/2)^2 ÷ 2 = πx^2/8$ 입니다.

 

- **작은 반원**은 $y$가 지름이니까 반지름은 $y/2$예요.
넓이는 $π × (y/2)^2 ÷ 2 = πy^2/8$ 입니다.

그러므로, 파란 부분의 넓이 식은 다음과 같아요:
$50π - (πx^2/8 + πy^2/8) = 21π$

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5. 식 정리하고 해 구하기

복잡해 보이는 식을 간단하게 정리해서 $x$와 $y$의 값을 찾아볼 거예요.

 

먼저 양변을 $π$로 나눠주면 훨씬 간단해져요:
$50 - (x^2 + y^2)/8 = 21$
이제 $(x^2 + y^2)/8$ 항을 반대편으로 넘기고 숫자를 정리해볼까요?
$(x^2 + y^2)/8 = 50 - 21$
$(x^2 + y^2)/8 = 29$
양변에 8을 곱해서 분모를 없애줘요:

 

$x^2 + y^2 = 232$

그리고 우리가 앞에서 구했던 식 $x + y = 20$을 기억하시나요? 이 식의 양변을 제곱해볼게요.
$(x + y)^2 = 20^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = 400$
여기서 $x^2 + y^2 = 232$라는 것을 알고 있으니 대입해볼까요?
$232 + 2xy = 400$
$2xy = 400 - 232$
$2xy = 168$
$xy = 84$

이제 우리는 두 가지 정보를 얻었어요: $x + y = 20$과 $xy = 84$.
이 두 가지 정보는 $x$와 $y$를 해로 가지는 이차방정식을 만들 수 있게 해줘요.

 

일반적인 이차방정식 형태는 $t^2 - (합)t + (곱) = 0$ 이므로,
$t^2 - 20t + 84 = 0$ 이 되겠죠?

이 이차방정식을 풀기 위해 근의 공식을 사용해볼게요.
$x = [-b ± \sqrt{(b^2 - 4ac)}] / 2a$ 에서 $a=1, b=-20, c=84$ 이므로
$x = [20 ± \sqrt{((-20)^2 - 4 * 1 * 84)}] / (2 * 1)$
$x = [20 ± \sqrt{(400 - 336)}] / 2$
$x = [20 ± \sqrt{64}] / 2$
$x = [20 ± 8] / 2$

 

따라서 $x$는 두 가지 경우가 나올 수 있어요.
$x = (20 + 8) / 2 = 28 / 2 = 14$
$x = (20 - 8) / 2 = 12 / 2 = 6$

만약 $x=14$라면 $y=6$이 되고, $x=6$이라면 $y=14$가 되겠죠?

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6. 최종 정답 정리

문제에서 BC의 길이를 구하라고 했으니, 우리가 설정한 변수로는 $y$의 값을 구하는 것이에요. 위에서 $x$와 $y$는 서로 바뀔 수 있는 값이었죠? 최종적으로 BC의 길이는 6cm가 됩니다.

 

**✅ BC = 6cm**

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7. 마무리 꿀팁

어떠셨나요? 복잡해 보였던 도형 문제도 차근차근 풀어나가니 이해가 되시죠? 몇 가지 꿀팁을 더 드릴게요!

 

7.1. 반원의 넓이 공식은 항상 기억하기!

반원의 넓이 공식 $πr^2 ÷ 2$는 도형 문제에서 정말 자주 쓰여요. 꼭 외워두세요!

 

7.2. 전체에서 부분을 빼는 방식으로 접근하기!

면적 문제는 보통 전체 넓이에서 불필요한 부분을 빼는 방식으로 접근하면 쉽게 풀리는 경우가 많아요. 이번 문제도 그랬죠?

 

7.3. 변수가 2개일 땐 합과 곱을 이용해 이차방정식으로 풀기!

$x+y$와 $xy$ 값을 알면 $x$와 $y$를 구할 수 있다는 것을 꼭 기억해두세요. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하는 꿀팁이랍니다!

 

내가 해야 할 일은?

 

구분	내용
**문제 풀이**	도형 문제 이해 및 필요한 공식 숙지
**변수 설정**	미지수를 활용하여 식 간단히 하기
**식 세우기**	주어진 정보로 방정식 만들기
**계산**	이차방정식 해 구하기
**정답 확인**	최종적으로 구해야 하는 값 확인 및 작성

 

 

 

**전문가 의견: 김수학 박사**
"이번 도형 문제는 중등 수학에서 매우 중요한 개념들을 복합적으로 묻고 있습니다. 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 문제 상황을 정확히 이해하고 미지수를 설정하여 식을 유도하는 능력이 필수적이죠. 특히 이차방정식과의 연계는 문제 해결 능력을 한 단계 더 높여주는 좋은 예시입니다."

 

**네티즌 의견: 똑똑이**
"진짜 학교 다닐 때 이런 문제 나오면 막막했는데, 이렇게 단계별로 설명해주니 이해가 쏙쏙 되네요! 특히 변수를 설정해서 이차방정식으로 푸는 방법은 몰랐던 꿀팁이었어요."

 

**네티즌 의견: 도형싫어**
"아무리 봐도 도형은 어려운데, 이 글 덕분에 조금은 자신감이 생겼어요! 그림이랑 같이 설명해주니까 더 좋네요. 다음에는 더 어려운 문제도 도전해보고 싶어요."

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결론

이번 포스팅에서는 중학생 도형 문제 중 반원의 넓이를 이용하여 선분 길이를 구하는 방법을 자세히 알아보았어요. 복잡해 보이는 문제도 **문제 이해, 공식 정리, 변수 설정, 식 세우기, 그리고 계산 및 정답 정리**의 6단계 과정을 거치면 충분히 해결할 수 있답니다. 특히 이차방정식의 활용은 수학 문제 해결 능력을 한층 더 향상시키는 중요한 요소이니 꼭 기억해주세요! 꾸준히 연습하면 어떤 도형 문제라도 자신 있게 풀 수 있을 거예요.

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자주 묻는 질문 (FAQ)

 

**Q1: 반지름을 구하지 않고 지름으로 바로 계산할 수는 없나요?**
A1: 네, 반원의 넓이 공식은 반지름을 기준으로 만들어졌기 때문에 지름을 사용하려면 먼저 반지름으로 변환해야 해요. 지름의 절반이 반지름이 됩니다.

 

**Q2: 이차방정식에서 근의 공식을 사용하는 것 말고 다른 풀이 방법은 없나요?**
A2: 이차방정식은 인수분해를 통해서도 해를 구할 수 있어요. 이번 문제에서는 $t^2 - 20t + 84 = 0$ 이 $(t-6)(t-14) = 0$ 으로 인수분해되기 때문에 $t=6$ 또는 $t=14$를 바로 찾을 수도 있습니다.

 

**Q3: 파란 부분의 넓이 계산 시, 굳이 π를 포함해서 계산해야 하나요?**
A3: 네, 문제에서 21π cm²라고 π가 포함된 형태로 주어졌기 때문에 계산 과정에서도 π를 포함해서 계산해야 해요. 최종적으로 π로 나누어주면서 더 깔끔하게 정리될 수 있습니다.

 

 

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